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尔雅数学竞赛选讲(三)课后答案(学习通2023完整答案)

学习通答案 2023-08-04 13:12
第一单元 极限

极限测验

1、设,则
A、在处不一定连续,但是一定有极限。
B、在处一定可导,且.。
C、在处不一定可导,但是一定连续。
D、在处不一定有极限。

2、设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是
A、若单调,则收敛.
B、若收敛,则收敛.
C、若收敛,则收敛.
D、若单调,则收敛.

3、“对任给的总存在正数,当时,恒有成立”是的
A、充分必要条件.
B、充分条件,但非必要条件.
C、必要条件,但非充分条件.
D、既非充分条件,又非必要条件.

4、设,其中为有界函数,则在处
A、可导.
B、极限不存在.
C、极限存在,但不连续.
D、连续,但不可导.

5、设时不是无穷大,则下述命题正确的是
A、设在的某个邻域内有界,则时, 必不是无穷大.
B、设时是无穷小,则必是无穷小.
C、设时不是无穷小,则必不是无穷小. .
D、设在时是无穷大,则时,必不是无穷大.

6、设在点邻域内连续,则存在的充分必要条件是
A、存在.
B、存在.
C、存在.
D、存在.

7、设满足,且满足,则
A、可微,且.
B、连续,不一定可微.
C、可微,且不确定.
D、不一定连续.

8、设和为R上的函数,,,则
A、若连续时,有
B、
C、若连续时,有
D、若不连续时,一定不成立.

9、的值是
A、.
B、.
C、.
D、.

10、的值是
A、.
B、.
C、.
D、

11、的值是
A、.
B、.
C、.
D、.

12、的值是
A、..
B、.
C、无法计算.
D、.

13、等于
A、.
B、
C、.
D、.

14、等于
A、.
B、
C、
D、

15、设存在,则
A、.
B、.
C、.
D、.

第二单元 无穷级数

无穷级数测验

1、设幂级数的收敛区间为,其中.则
A、.
B、
C、
D、

2、设发散,则
A、一定发散.
B、当有界时收敛,无界时发散.
C、当无界时收敛,有界时发散.
D、一定收敛.

3、已知幂级数在处收敛,在处发散,则幂级数的收敛域为
A、
B、
C、
D、

4、设,且,则级数
A、一定条件收敛.
B、一定发散.
C、有时候收敛,有时候发散.
D、一定绝对收敛.

5、若级数收敛,则的值为
A、
B、
C、
D、

6、给定级数,其中是非零常数,则
A、级数条件收敛
B、级数绝对收敛
C、级数发散
D、级数的敛散性依赖于

7、若级数收敛,则
A、必绝对收敛
B、必条件收敛
C、必发散
D、可能收敛也可能发散

8、下列命题中正确的是
A、设正项级数发散,则当时,.
B、设收敛,则级数收敛.
C、设级数和至少一个发散,则发散
D、设收敛,则级数和均收敛

9、设,,下列命题中正确的是
A、若,则收敛级数收敛.
B、若级数收敛,则
C、若级数收敛,则.
D、若,则级数收敛.

10、设级数和为两个正项级数,且满足,则
A、级数收敛.
B、级数发散.
C、级数收敛.
D、级数发散..

11、幂级数收敛半径为
A、
B、
C、
D、

12、无穷级数
A、绝对收敛
B、条件收敛
C、发散.
D、无法判定敛散性

13、对无穷级数和,下列命题成立的是
A、若,则无穷级数和中至少有一个发散.
B、若,则无穷级数和中至少有一个收敛.
C、若且收敛,则无穷级数收敛.
D、若且发散,则发散.

14、
A、
B、
C、
D、

15、设,其中,则
A、
B、
C、
D、

期末考试

极限和级数

1、等于
A、
B、
C、
D、

2、设满足,其中,则
A、
B、
C、
D、不存在.

3、设,,则
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、不存在.

5、等于
A、
B、
C、
D、

6、等于
A、
B、
C、
D、

7、等于
A、
B、
C、
D、

8、“对任给的总存在正数,当时,恒有成立”是的
A、充分必要条件.
B、充分条件,但非必要条件.
C、必要条件,但非充分条件.
D、既非充分条件,又非必要条件.

9、设在上有三阶连续导数,且,,且,其中 则
A、.
B、
C、.
D、.

10、等于
A、.
B、.
C、.
D、.

11、
A、
B、
C、
D、

12、等于
A、
B、
C、
D、

13、等于
A、.
B、.
C、
D、.

14、
A、.
B、.
C、.
D、.

15、设函数在处连续.如果,则在处
A、一定可导,且.
B、一定可导且.
C、一定不可导.
D、无法判断.

16、的收敛半径是
A、
B、
C、
D、.

17、设和的收敛半径分别为和,则的收敛半径
A、.
B、
C、
D、

18、设满足,且收敛,则
A、.
B、.
C、.
D、.

19、设幂级数的收敛半径,则
A、
B、
C、可能不存在,但是足够大时,.
D、可能不存在,但是足够大时,..

20、
A、.
B、.
C、
D、

21、设时,则
A、.
B、.
C、.
D、.

22、当时,
A、.
B、.
C、
D、

23、当时,
A、.
B、.
C、
D、.

24、已知幂级数在处收敛,在处发散,则幂级数的收敛域为
A、
B、
C、
D、

25、设,其中,则
A、
B、
C、
D、

26、
A、
B、
C、
D、

27、幂级数收敛半径为
A、
B、
C、
D、

28、无穷级数
A、绝对收敛
B、条件收敛
C、发散.
D、无法判定敛散性

29、幂级数的收敛域为
A、.
B、.
C、.
D、.

30、
A、.
B、.
C、.
D、.

学习通数学竞赛选讲(三)

尔雅数学竞赛选讲(三)课后答案(学习通2023完整答案)

今天我们来谈一下数学竞赛中常见的组合问题。

一、排列组合基础

先来回顾一下排列和组合的基本概念:

  • 排列:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素进行排列,其排列数记作 Anm,计算公式为:
  • Anm = n(n-1)(n-2)……(n-m 1)

  • 组合:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素进行组合,其组合数记作 Cnm,计算公式为:
  • Cnm = Anm / (m!)

值得注意的是,当 m=n 时,有 Anm = n!,Cnm=1,也就是说,从 n 个元素中取出 n 个元素进行排列和组合,只有一种方案。

二、乘法原理与加法原理

在解决排列组合问题的时候,常常会用到乘法原理和加法原理。

  • 乘法原理:如果一个事件可以分成 k 步进行,并且第 i 步有 ni 种可能,那么这个事件共有 n1 × n2 × …… × nk 种可能。
  • 加法原理:如果一个事件可以分为 k 种情况,第 i 种情况有 ni 种可能,那么这个事件共有 n1 n2 …… nk 种可能。

举个例子:

有 4 个班级,每个班级选 1 名男生和 1 名女生参加文艺比赛,问共有多少种可能性?

首先按照乘法原理进行思考,这个事件可以分为两步进行:选男生和选女生。每个班级选男生的可能性有 20 种,选女生的可能性也有 20 种,故整个事件有 20 × 20 × 20 × 20 种可能性。

然后按照加法原理进行思考,这个事件可以分为四种情况:第一名男生来自 1 班,第二名男生来自 2 班,第三名男生来自 3 班,第四名男生来自 4 班。每种情况下选女生的可能性都有 20 种,故整个事件有 4 × 20 种可能性。

三、排列组合问题的应用

接下来我们来看看一些常见的排列组合问题及其解题方法。

1. 教室座位安排

有 6 个男生和 4 个女生,他们要坐在一排 10 个座位上,要求男生之间不能有女生坐,女生之间不能有男生坐,问共有多少种安排方案?

解法:

根据题目要求,可以将 10 个座位分为三部分,左边 6 个座位为男生座位,右边 4 个座位为女生座位,中间有 0 或多个座位,设有 i 个座位,则有:

A66 × A44 × Cii × A6i × A410-i-i

种安排方案,将 i 从 0 到 4 进行求和即可。

2. 数字游戏

现在有 6 个数字 1,2,3,4,5,6,它们可重复地排成一个 6 位数,要求这个 6 位数中不能出现连续的两个偶数或连续的三个奇数,问这样的 6 位数个数是多少?

解法:

将 6 位数分为两部分,分别是奇数部分和偶数部分。奇数部分只能用 1、3、5 这三个数字,偶数部分只能用 2、4、6 这三个数字。

考虑对奇数部分进行排列,共有 36 种可能。对于偶数部分,则不能出现两个连续的数字,故可以设 fn 为长度为 n 且最后一位是 2 或 4 或 6 的合法数字个数,则有:

f1 = 3,f2 = 2×3 = 6,fn = fn-1 fn-2 fn-3(n≥3)

最终答案即为 36 × (f1 f2 f3 …… f6)。

3. 排队出游

有 8 个人要排队出游,其中 3 个人不愿意排在一起,问共有多少种排队方案?

解法:

可以先考虑不考虑 3 个人不愿意排在一起的限制,此时有 8! 种方案。然后考虑对这些方案进行分类计数,设有 A、B、C 三个人不愿意排在一起,则有以下三种情况:

  • 三人分别排在 1、4、7 号位置:
  • A55 × A44

  • 三人分别排在 2、5、8 号位置:
  • A55 × A44

  • 三人分别排在 3、6、1 号位置:
  • A55 × A44

根据加法原理,最终答案为 8! - 3 × A55 × A44

总结

通过本文的介绍,我们了解了排列组合的基础知识以及乘法原理和加法原理的应用,同时也掌握了一些常见的排列组合问题的解题方法。在数学竞赛中,排列组合问题是比较常见的,希望大家在平时的学习中多加积累、多做练习,提高自己的数学思维能力。

学习通数学竞赛选讲(三)

一、组合数学

组合数学是数学的一个重要分支,是研究离散对象之间选择、排列、组合、分割等问题的一门学科。在数学竞赛中,组合数学的应用非常广泛,本节我们将介绍组合数学中的一些基础概念和解题技巧。

1. 排列组合基础

排列是指从$n$个不同的元素中取出$m$ $(m\\leq n)$ 个元素进行有序排列的方式数。排列的方式数为$A_n^m=\\dfrac{n!}{(n-m)!}$。

组合是指从$n$个不同的元素中取出$m$ $(m\\leq n)$ 个元素进行无序排列的方式数。组合的方式数为$C_n^m=\\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$。

排列和组合的关系可以通过以下公式表示:

$$A_n^m=C_n^m\\cdot m!$$

2. Pigeonhole Principle(抽屉原理)

Pigeonhole Principle(抽屉原理)是数学中非常重要的一个概念,它主要指的是当$n 1$个或以上物品放入$n$个或以下的盒子里时,必然有一个盒子里至少放了两个物品。

在数学竞赛中,抽屉原理的应用非常广泛,我们可以通过抽屉原理解决一些排列组合问题。

3. 例题解析

例题1:从$m$个不同的球中取$n$个不同的球,问有多少种取法?

解析:这个问题我们可以根据组合的定义进行求解,即$C_m^n=\\dfrac{m!}{n!(m-n)!}$。

例题2:已知$n$个人中有一个“特务”,现在要从这$n$个人中随机抽取$m$ $(m\\geq 2)$ 个人,问至少有两个“特务”同时被抽中的概率是多少?

解析:对于这个问题,我们可以采用补集思想来求解。当$m=n$时,所有人都被抽中,则概率为0。当$m=n-1$时,只有一个人没有被抽中,则概率为$\\dfrac{n-1}{C_n^m}$。当$m

二、数论

数论是研究整数及其性质的一门学科,数论在数学竞赛中占据了非常重要的地位,常常涉及到求余数、最大公约数、最小公倍数等问题,本节我们将介绍数论中的一些基础概念和解题技巧。

1. 质数与素数

质数是指除了1和本身以外无法被其他整数整除的正整数,而素数是指只有1和本身两个因数的正整数。在数学竞赛中,我们常常需要对质数和素数进行判断和运算,因此需要掌握一些相关的性质和技巧。

2. 最大公约数和最小公倍数

最大公约数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个数,最小公倍数是指两个或多个整数公有倍数中最小的一个数。在数学竞赛中,最大公约数和最小公倍数常常需要通过简单的算法进行计算,因此需要掌握相关的算法和技巧。

3. 同余和模运算

同余是数学中非常重要的一个概念,指的是在同一模数下,两个数的余数相等。例如,在模7的意义下,$3\\equiv 10\\equiv 17\\equiv\\cdots$。我们常常需要通过同余的性质来判断一个数的奇偶性、是否为质数等等问题。

模运算是指对一个数进行取模运算。例如,$7\\mod 3=1$,$13\\mod 5=3$。在数学竞赛中,模运算常常用来判断是否有解、判断同余关系、预测数列规律等等问题。

4. 例题解析

例题1:若$x$为奇数,$y$为偶数,求$x^2 y^2$的奇偶性。

解析:根据奇数平方和偶数平方的性质,我们可以得到$x^2 y^2$为奇数。

例题2:已知$a\\bot b$,$b\\bot c$,求证$a\\bot c$。

解析:根据最大公约数的定义,我们可以得到$a$、$b$、$c$的质因数分解式分别为$a=p_1^{a_1}\\cdot p_2^{a_2}\\cdot\\cdots$,$b=p_1^{b_1}\\cdot p_2^{b_2}\\cdot\\cdots$,$c=p_1^{c_1}\\cdot p_2^{c_2}\\cdot\\cdots$。由于$a\\bot b$,所以$p_i^{a_i}$和$p_i^{b_i}$中必有一个为0,同理,$b\\bot c$,所以$p_i^{b_i}$和$p_i^{c_i}$中必有一个为0,因此$p_i^{a_i}$和$p_i^{c_i}$中必有一个为0,即$a\\bot c$。

三、解析几何

解析几何是数学中非常重要的一个分支,它主要研究几何图形在坐标系中的性质和运动规律。在数学竞赛中,解析几何的应用非常广泛,本节我们将介绍解析几何中的一些基础概念和解题技巧。

1. 坐标系和直线方程

坐标系是解析几何中的重要工具,它分为直角坐标系、极坐标系等多种形式。在数学竞赛中,我们常常需要在坐标系中表示几何图形、解决几何问题。直线方程是解析几何中的另一个重要概念,常常需要通过直线方程来表示直线,计算直线与坐标轴的交点、两直线的交点等等问题。

2. 圆和圆方程

圆是解析几何中的重要几何图形,它可以通过圆心和半径来确定。圆方程是指以坐标系中某个点为圆心,某个实数为半径的圆所满足的方程。在数学竞赛中,我们常常需要通过圆方程来判断圆与直线的位置关系、计算圆心坐标等等问题。

3. 例题解析

例题1:已知$\\odot O_1$的半径为$r_1$,$\\odot O_2$的半径为$r_2$,两圆心之间的距离为$d$,求这两个圆的位置关系。

解析:根据两圆半径之和和半径之差的大小关系,我们可以得到以下结论:

  • 当$d>r_1 r_2$时,两圆不相交;
  • 当$d=r_1 r_2$时,两圆相切;
  • 当$\\left| r_1-r_2 \\right|
  • 当$d=\\left| r_1-r_2 \\right|$时,两圆内切或外切;
  • 当$d<\\left| r_1-r_2 \\right|$时,一个圆在另一个圆内部。

例题2:已知三角形的三个顶点坐标分别为$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$C(x_3,y_3)$,求面积。

解析:我们可以使用向量的方法来求解三角形面积,即$S=\\dfrac{1}{2}\\left| \\vec{AB}\\times\\vec{AC} \\right|$。其中,向量$\\vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$,向量$\\vec{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1)$,$\\times$表示向量叉积运算。

四、统计学

统计学是数学中的一个重要分支,它主要研究数据的收集、处理、分析和解释。在数学竞赛中,统计学的应用非常广泛,本节我们将介绍统计学中的一些基础概念和解题技巧。

1. 数据类型和数据分布

数据是统计学中的核心,数据分为定量数据和定性数据两种类型。定量数据是指可以用数字表示的数据,如身高、体重等。定性数据是指只能用文字、符号等表示的数据,如性别、职业等。

数据分布是指数据在不同取值范围内的分布情况。常见的数据分布有正态分布、均匀分布、二项分布等。

2. 统计参数和统计方法

统计参数是指对数据总体的统计特征进行描述的量,如均值、方差、标准差等。统计方法是指通过对数据的描述和分析,推断总体的统计特征和进行假设检验等方法。

3. 例题解析

例题1:已知某班学生数学成绩的平均分为85分,标准差为10分,问在这个班里,有多少学生的数学成绩在75分以上?

解析:根据正态分布的性质,我们可以得到$P(X>75)=P\\left( Z>\\dfrac{75-85}{10} \\right)=P(Z>-1)=0.8413$($Z$为标准正态分布),因此有$0.8413\\times 100\\%=84.13\\%\\approx 84$个学生的数学成绩在75分以上。

例题2:已知某市公交车的平均车速为30km/h,标准差为5km/h,问在95%的情况下,公交车的车速在什么范围内?

解析:根据正态分布的性质,我们可以得到$P\\left( \\mu-1.96\\sigma



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